فیبوناچی و نسبت طلایی

حاصل بسط تقسیم یک بر ۸۹ به شکلی جالب دنباله فیبوناچی است

عدد طلایی، امضای نامرئی خدا!

نسبت الهی، نسبت طلایی، بخش طلایی، عدد طلایی، برش طلایی و بسیاری نام دیگر، اسامی هستند که برای عددی با مقدار تقریبی ۱/۶۱ در نظر گرفته شده است. دلیل وجود این همه نام برای یک عدد کشف دوباره و دوباره آن در طول تاریخ توسط افراد مختلف و در مکان های مختلف بوده است.
اولین ردپاهای این عدد منحصر به فرد و جذاب که در گوشه گوشه جهان مان رخنه کرده و ردپایش از ترمودینامیک سیاهچاله های فضایی گرفته تا اهرام مصر کشیده شده است را می توان در بشر، در حدود ۳۰۰ سال پیش از میلاد، در فصل چهارم از کتاب معروف «اصولِ»، اقلیدس، ریاضیدان برجسته ی یونان باستان که تا پیش از این قرن، پرخواننده ترین کتاب جهان غرب پس از انجیل بود؛ یافت. او در این کتاب این چنین نوشت: «یک پاره خط مستقیم را می توان به دو قسمت کوچک و بزرگ آن چنان تقسیم نمود که نسبت طول پاره خط به جزء بزرگ، برابر با نسبت طول جزء بزرگ به کوچک باشد.» او با حل جبری این مسأله دریافت که مقدار چنین نسبتی همواره معادل نصف مجموع مجذور پنج و یک؛ یا ۱.۶۱۸۰۳۳۹۸۸۷ می باشد. عددی گنگ همچون پی، که بعدها «عدد فی» نامیده شد.
فی، نخستین حرف از نام «فیدیاس»، پیکرتراش زبده ی یونان باستان است که به احتمال زیاد این نسبت عددی را ده ها سال پیش از اقلیدس، در شیوه ی هنری اش لحاظ می کرده است. فی، صرفاً بعنوان یک نماد هندسی، اسیر ذهن پویای ریاضیدانان نماند و اندکی بعد، پا به جهان پیرامون مان نهاد و صاحب نظران هر حوزه از علم آن روز را در شگفتی تمام فروبرد. هر اندیشمندی با دریافتی که خود از اعجاز بی پایان این عدد داشت، به دنبال واژه ای بود که به بهترین نحو از زیبایی و شکوه ذاتی آن عدد حکایت کند.
«لوییجی پاچیولی»، ریاضیدان ایتالیایی، این نسبتِ عددی را «نسبت الهی» نام نهاد و «مارتین اهم» آلمانی، در کتاب خود از آن با عنوان «نسبت طلایی» یاد کرد.
کاربرد نسبت طلایی در معماری معبد پارتنون در آتن. بزرگترین مستطیل که تمامی نمای معبد را درون خود جای داده است، یک مستطیل طلایی است. به همین ترتیب نسبت طول ستون ها به ارتفاع تاج معبد و نسبت عرض جزءِ مستطیلیِ تاج به ارتفاع جزءِ مثلثیِ آن، نسبتی طلایی است

سری طلایی فیبوناچی
مزرعه داری یک جفت خرگوش دارد. این خرگوش ها از سن یک ماهگی به بعد، در هر ماه یک جفت خرگوش به دنیا می آورند. با این فرض که خرگوش ها هرگز نمی میرند، مزرعه دار در نهایت صاحب چند خرگوش خواهد بود؟
این سوالی بود که امپراتور فردریک دوم در سال ۱۲۲۵ برای ریاضی دانان شهر پیزا مطرح کرد و تنها کسی که جواب را یافت و طبیعتا مسایقه را برد لئونارد فیبوناچی، جهانگرد ایتالیایی بود. او مسئله را خیلی ساده حل کرد:
در ماه اول مزرعه دار یک جفت خرگوش دارد.
در ماه دوم باز هم یک جفت دارد، چون خرگوش ها هنوز به سن بلوغ نرسیده اند.
در ماه سوم خرگوش ها زادآوری می کنند که نتیجه دو جفت خرگوش برای مزرعه دار است.
در ماه چهارم جفت خرگوش اول زادآوری می کنند ولی جفت خرگوش های دوم هنوز به سن بلوغ نرسیده اند. بنابراین مزرعه دار سه جفت خرگوش خواهد داشت.
ماه پنجم: جفت خرگوش های اول و دوم هر کدام دو جفت دیگر به جمعیت خرگوش ها اضافه می کنند و جفت خرگوش های سوم در انتظار بلوغ اند. بنابراین نتیجه ۵ جفت خرگوش است. هر ماه که می گذرد خرگوش های مزرعه دار به ترتیب زیر به زاد و ولد ادامه می دهند:
… ،۱,۱,۲,۳,۵,۸,۱۳,۲۱,۳۴,۵۵,۸۹,۱۴۴,۲۳۳
در این سری از اعداد، هرجمله با مجموع دو جمله ی پیشین خود برابری می کند. اما شهرت دنباله ی فیبوناچی اصلا به این دلیل نیست. خاصیت جذاب دنباله ی فیبوناچی در این است که وقتی هر کدام از عددهای آن را به عدد قبل از خودش تقسیم کنیم، به عددی تقریبا ۱٫۶۱۸ می رسیم که همان “نسبت طلایی” مشهور است.
امروزه وجود این نسبت در همه جای کائنات قابل مشاهده است. از ریز ترین ذرات تا بزرگترین کهکشان ها. به نظر می رسد نسبت الهی نام قشنگتری برای این عدد باشد. وقتی به آن می اندیشیم به یاد تئوری همه چیز می افتیم. تئوری ای که دانشمندان بزرگی به دنبال آن بودند و هستند. شاید اگر کس دیگری این عدد را در دوره ای کشف می کرد نام آن را نسبت همه چیز می گذاشت. این عدد در جهان طبیعت مثل رگه های درخشانی از یک امضاء نامریی از طرف خداوند می درخشد.
در هر کندویی در هر گوشه از دنیا وقتی تعداد زنبورهای ماده را به نر تقسیم می کنیم به یک عدد ثابت می رسیم: ۱٫۶۱۸
شاخ و برگ درخت ها به صورت تصادفی در جهات مختلف رشد نمی کنند‫. اندازه گیری زاویه شاخه ها نشان می دهد که در الگوی رشد آن ها، نظمی شبیه دنباله فیبوناچی و نسبت طلایی وجود دارد. درختان با پیروی از این نوع الگوی رشد، قادرند درصد بیشتری از نور خورشید را جذب کنند.‬

این نسبت در بدن انسان ها هم هست؛ اگر فاصله سر تا زمین را تقسیم بر فاصله ی شکم تا زمین کنیم، به ۱٫۶۱۸ می رسیم. نسبت طول بزرگترین استخوان انگشت دست به طول استخوان متوسط برابر نسبت طلایی است؛ نسبت طول استخوان متوسط به استخوان کوچک هم همینطور. یک مولکول DNA در هر دور چرخش کامل مارپیچ دو رشته ای خود دارای ابعاد ۳۴ و ۲۱ آنگسترم است. که دارای همان نسبت عدد طلایی هستند.
در مورد مارپیچ فیبوناتچی چیزی شنیده اید؟
د رصورتی که تعدادی چهار ضلعی با بُعدهایِ برابر با اعداد فیبوناچی رسم کنیم و خطی را فیبوناچی و نسبت طلایی در راستای قطر هر یک از آن ها امتداد بدهیم، مارپیچ فیبوناچی شکل خواهد گرفت. تنوع حیرت انگیز مصادیق طبیعی این مارپیچ ها، نمونه ی بارزی از اعجاز عدد فی است.
مقایسه ی منحنی طلایی موجود در ساختار مارپیچ یک فسیل آمونیت (جانداری آبزی شبیه حلزون اما با ابعاد متغیر و گاهاً غول پیکر که میلیون ها سال پیش می زیسته است)، یک گردباد گرمسیری و نیز یک کهکشان مارپیچی (از پایین به بالا). بالاترین جزءِ تصویر، یک مارپیچ طلایی ایده آل است که با رسم یک مستطیل طلایی و اجزای زیرمجموعه ی آن بوجود می آید
گردبادها و منظومه ها در مسیری مشابه با مارپیچ فیبوناچی حرکت می کنند. نسبت قطر مارپیچ بزرگتر به مارپیچ کوچکتر در یک گردباد برابر با ۱٫۶۱۸ است. در کهکشان ها هم نسبت قطر مارپیچ بزرگتر به مارپیچ کوچکترهمان عدد شگفت انگیز فی است.
وقتی که سنگ هاى آسمانى با سطح زمین برخورد مى کنند، مسیرى شبیه مارپیچ فیبوناچی را طى مى کنند. عنکبوت ها شبکه تارهاى خودشان را براساس الگویی شبیه به مارپیچ فیبوناچی می تنند. میوه های درخت کاج و دانه های آفتابگردان به شکل مارپیچ هایی فیبوناچی و نسبت طلایی روبروی هم رشد می کنند، موج هاى اقیانوس ها، سرخس ها، شاخ جانوران و چیدمان گل های مروارید همگی از الگوی منحنی های این مارپیچ مرموز تبعیت می کنند.
اگر مارپیچ فیبوناچی را کامل رسم کنیم به مارپیچی می رسیم که ابتدا و انتهای آن نامعلوم است، این مارپیچ از هر دو طرف تا بی نهایت پیش می رود و هرگز به آخر نمی رسد.
مثال هایی که در این مطلب آورده شده است تنها نمونه کوچکی از ردپای این فیبوناچی و نسبت طلایی عدد در جهان طبیعت و تاریخ هنر و معماری انسان ها بوده است و با جستجوی کوچکی می توانید به مطالب زیادی در این رابطه دست یابید.

آموزش فیبوناچی در تحلیل تکنیکال

سری فیبوناچی دنباله ای از اعداد است که هر عدد از مجموع دو عدد قبلی خود بدست می آید این دنباله بصورت زیر است.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, …

شاید در نگاه اول این سری چیز خاصی نداشته باشد! اما آنچه دنباله فیبوناچی را مشهور کرده است نسبت هایی است که اعداد این دنباله با یکدیگر دارند که مهمترین آن، نسبت هر عدد از این دنباله به عدد قبلی خود است و هر چه این عمل را برای جملات جلوتر این سری انجام دهیم این نسبت به یک عدد ثابت همگرا میشود. برای مثال در سری فیبوناچی، اعداد 20، 21 و 22 اُم به ترتیب عبارت است از: 6765، 10946، 17711 حال اگر هر عدد را به عدد قبلی خود تقسیم کنیم به جواب زیر میرسیم و همانطور که مشاهده میکنید تا رقم هفتم اعشار آن یکی است!

17711/10946 = 1.61803398

10946/6765 = 1.61803399

عدد 1.618 را نسبت طلایی یا همان Golden Ratio میگویند و شاید بتوان مهم ترین عدد در دنیا دانست! (عدد طلایی یک عدد گنگ و برابر است با 2/(5√+1)) خدا عاشق عدد 1.618 است! چرا که میتوانید این نسبت را در تمام مخلوقاتش پیدا کنید! از جزء به جزء بدن خودتان بگیرید تا الگوی مارپیچی حلزون، گل آفتابگردان و کهکشان ها، بگذریم! خدا روح مرحوم فیبوناچی را قرین شادی و رحمت کند! و به قول حضرت حافظ:

• خیز تا بر کِلکِ آن نقاش، جان‌افشان کنیم
• کاین همه نقشِ عجب در گردشِ پرگار داشت

کاربرد فیبوناچی در تحلیل تکنیکال

نسبت های فیبوناچی کاربرد زیادی در بازارهای مالی دارند و بررسی واکنش معامله گران نسبت به این اعداد در بحث حمایت و مقاومت باعث بهبود موفقیت در معاملات میشود. “هیچ قطعیتی فیبوناچی و نسبت طلایی در تحلیل تکنیکال وجود ندارد” استفاده از ابزارهای فیبوناچی در کنار سایر ابزارهای تحلیل تکنیکال و تطابق آنها با یکدیگر صرفا میتواند باعث افزایش کارایی و کاهش تردید در تحلیل شود.

نسبت های مهم فیبوناچی

• 423.8% : از تقسیم هر عدد سری به سومین عدد قبل از خود بدست می آید.
• 261.8% : از تقسیم هر عدد سری به دومین عدد قبل از خود بدست می آید.
• 161.8% : از تقسیم هر عدد سری به عدد قبلی خود بدست می آید.
• 78.6% : جذر عدد 61.8 است!
• 61.8% : از تقسیم هر عدد سری به عدد بعدی خود بدست می آید.
• 38.2% : از تقسیم هر عدد سری به دومین عدد بعد از خود بدست می آید.
• 23.6% : از تقسیم هر عدد سری به سومین عدد بعد از خود بدست می آید.

تذکر: نسبت های 50% و 100% و 200% جزء نسبت های فیبوناچی نیستند اما هنگام تحلیل مورد استفاده قرار میگیرند!

ابزارهای مهم فیبوناچی در تحلیل تکنیکال

در بحث خطوط روند و حمایت و مقاومت، واکنش بازار به قیمت های گذشته این خطوط را بوجود می آورد و انتظار بازار، واکنش دوباره به آنها بود! اما با استفاده از ابزارهای فیبوناچی میتوان یک خط، منحنی و یا زمان خاص برای بازگشت یا ادامه دار بودن یک روند را ترسیم کرد که هیچ اجباری به حمایت و مقاومت بودن آنها نیست و صرفا بحث روانی دارد و استفاده از آنها بایستی به عنوان ابزار کمکی تحلیل تکنیکال و همراه با سایر ابزارها باشد و همپوشانی سطوح فیبوناچی با الگوهای قیمتی، خطوط حمایت و مقاومت، خط روند و… باعث افزایش اعتبار آنها خواهد شد و میتوان واکنش جدی تر بازار را انتظار داشت. در ادامه سعی میکنیم توضیح مختصری پیرامون ابزارهای فیبوناچی خدمت شما ارائه کنیم و در مقالات بعدی بصورت مجزا هر کدام از این ابزارها را همراه با مثال های عملی از بورس و سایر بازارهای مالی مورد بررسی قرار دهیم.

• ریتریسمنت (Fibonacci Retracement)
• اکستنشن (Fibonacci Extension)
• پروجکشن (Fibonacci Projection)
• اکسپنشن (Fibonacci Expansion)
• کمان ها (Fibonacci arcs)
• بادبزن (Fibonacci Fan)
• فیبوناچی زمانی

فیبوناچی ریتریسمنت (اصلاحی – داخلی)

قیمت ها در بازارهای مالی عموما بصورت ناگهانی با افزایش و یا کاهش مواجه نمیشوند و همواره روندها تمایل به اصلاح قیمت دارند برای مثال در یک روند صعودی قیمت سهام از 1000 تا 2000 افزایش پیدا میکند سپس تا 1700 کاهش و دوباره روند صعودی از سر گرفته میشود این اصلاح قیمت در روندهای نزولی نیز با افزایش قیمت ها رخ میدهد. اینکه این اصلاح قیمت تا چه سطحی رخ میدهد توسط سطوح فیبوناچی اصلاحی (بازگشتی) قابل شناسایی است بدین صورت که با شناسایی یک روند، نقاط سقف و کف قیمت آن را به یکدیگر وصل میکنیم که به عنوان سطوح 100% و 0% درنظر گرفته میشود سپس سطوح 23.6%، 38.2%، 50%، 61.8% و 78.6% بین دو سطح 0% و 100% به عنوان خطوط اصلاحی احتمالی ترسیم میشود.

فیبوناچی اکستنشن (اصلاحی – خارجی)

در فیبوناچی بازگشتی – داخلی سطوح اصلاح همگی کمتر از 100% بودند یعنی در یک روند صعودی اصلاح قیمت کمتر از کف قیمتی نمیشد حال اگر اصلاح، اعدادی بالاتر از 100% را تجربه کند به آن فیبوناچی اکستنشن یا همان بازگشتی – خارجی میگویند و سطوح بازگشتی احتمالی به ترتیب 127.2%، 161.8%، 261.8% و 423.6% هستند.

فیبوناچی پروجکشن

پروجکشن به معنای تصویر کردن است و از این ابزار برای تعیین اهداف قیمتی در آینده استفاده میشود فرض کنید در یک روند صعودی قیمت از نقطه A تا B افزایش داشته سپس با کاهش قیمت تا نقطه C فاز اصلاحی خود را پشت سر گذاشته و دوباره روند صعودی خود را شروع کرده باشد حال میتوان اهداف قیمتی جدید را با استفاده از فیبوناچی پروجکشن شناسایی کرد بدین صورت که سه نقطه کف قیمت، سقف قیمت و پایان اصلاح را به یکدیگر وصل میکنیم تا سطوح 100%، 127.2%، 161.8% و 200% به عنوان اهداف احتمالی قیمتی در آینده ترسیم شوند.

فیبوناچی اکسپنشن

فیبوناچی انبساطی و پروجکشن تا حدودی شبیه به هم هستند و برای یافتن اهداف قیمتی بیشتر از 100% مورد استفاده قرار میگیرند تنها تفاوت در تعداد نقاط آنهاست بدین صورت که در فیبوناچی انبساطی تنها از 2 نقطه سقف و کف قیمتی استفاده میشود سپس ترازهای قیمتی 127.2%، 161.8%، 261.8% و 423.6% به عنوان اهداف احتمالی قیمت ترسیم میشوند. پس از شکست خطوط حمایت و مقاومت، تشکیل الگوهای قیمتی و … استفاده از این ابزار میتواند راهگشای معاملات جهت توقف ضرر یا شناسایی سود باشد.

فیبوناچی کمان ها

با استفاده از این ابزار میتوان کمان هایی را به عنوان سطوح حمایت و مقاومت بالقوه ترسیم کرد بدین صورت که ابتدا دو نقطه کف و سقف قیمت در یک روند را به یکدیگر وصل کنید این خط پایه به عنوان شعاع قوس اول، کمان 100% خواهد بود سپس کمان های 61.8%، 50% و 38.2% ترسیم و به عنوان سطوح اصلاحی روند درنظر گرفته میشوند.

به بهانه روز فیبوناچی؛ با این دنباله طلایی از اعداد بیشتر آشنا شوید

دنباله فیبوناچی یکی از جذابترین مفاهیم دنیای ریاضی است که نمود آن در طبیعت، هنر، معماری و حتی موسیقی هم دیده می شود.

دیروز مصادف با ۲۳ نوامبر به عنوان روز فیبوناچی نامگذاری شده است. این ریاضیدان بزرگ دستاوردهای بسیاری را به یادگار گذاشته که یکی از مهمترین آنها دنباله فیبوناچی است. این دنباله برابر تابع Fn است که در آن n عضوی از مجموعه اعداد حسابی <. ،۳ ،۲ ،۱ ،۰>است. در این دنباله اگر n=۰ فیبوناچی و نسبت طلایی باشد حاصل ۰، اگر n=۱ باشد حاصل ۱ و اگر عدد بزرگتر ۱ باشد، خروجی حاصل جمع دو عدد قبلی است:

دنباله فیبوناچی با همین ترتیب تا بی نهایت میل می کند اما هرچه در آن به سمت جلو می رویم حاصل تقسیم جمله n به n-1 به نسبت طلایی نزدیکتر می شود. نسبت طلایی که لوکا پاچیولی (پدر حسابداری دنیا) پنج قرن قبل از آن با عنوان نسبت الهی هم یاد کرده، زمانی به دست می آید که اگر بخش طولانی یک پاره خط (a) را بر بخش کوتاه‌تر (b) تقسیم کنیم، حاصل ۱.۶۱۸ شود. این نسبت در جای جای طبیعت از چشم انسان فیبوناچی و نسبت طلایی گرفته تا کندوی زنبورها و اهرام ثلاثه مصر به چشم می خورد.

حاصل بسط تقسیم یک بر ۸۹ به شکلی جالب دنباله فیبوناچی است

یکی از مفاهیم فیبوناچی و نسبت طلایی جالب مبتنی بر نسبت طلایی، اسپیرال یا مارپیچ طلایی است. در تصویر زیر به جای هریک از اعداد فیبوناچی یک مربع با ضلعی به اندازه همان عدد قرار داده شده است. در هر مربع هم یک چهارم دایره ای با شعاع ضلع آن ترسیم شده است. همانطور که می بینید حاصل مارپیچی زیبا موسوم به اسپیرال طلایی است که جهان اطراف ما از کهکشان ها گرفته تا گل ها، موجودات زنده و نقاشی مونالیزای داوینچی از آن پیروی می کنند.